NÚMEROS NATURALES

Llamamos números naturales a cada uno de los números que empleamos para contar.
Son números el cero, uno, dos, tres, cuatro etc y sus símbolos matemáticos respectivo: 0, 1, 2, 3, 4, etc.

• A todos los números naturales les lamamos conjunto de los números naturales y le asignamos arbitrariamente la letra N, con el objeto de abreviar cuando tengamos que referirnos a dicho conjunto.

En forma mateática al conjunto de los números naturales lo escribimos así: N={o,1,2,3,4....}

EJERCICIOS

1-Indica cuál es el número anterior a 125.

2-Indica cual es el número posterior a 46873

3-Escribir los suigientes números en orden creciente: 3, 25, 8, 17

4-Escribir los siguientes números en orden decreciente:16, 1, 0, 48, 104

RESPUESTA

1-Como al contar, el número anterior de otro es el que está escribimos 124.

2-Como al contar, el número posterior a otro es el que le siue escribimos: 46874

3-Como el orden es creciente, significa que los tenemos que escribir de menor a mayor: Así: 3, 8, 17, 25 ó así; 3<8<17<25

4-Como orden de decreciente los tenemos que escribir de mayor a menor. Así: 104, 48, 16, 1, 0 ó así; 104>48>16>1>0

ECUACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Una ecuación es una igualdad que tiene una o varias cantidades o números desconocidos que se llaman incónitas, las cuales generalmente se notan con las últimas letras del alfabeto, x, y, z.

Elementos que forman una ecuación. A cada una de las expresiones separadas por el signo = se le llama miembro de la ecuación siendo el primer mienbro el que está a la izquierda del signo = y segundo miembro el que está a la derecha.

Se denomina términos a cada una de las expresiones que están separadas por los signos + o -

EJERCICIOS

1-Indica los elementos que forman cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 3x + 2y= 8 b)4x + 3z= z-6

2-Resolver mentalmente cada una de las ecuaciones y comprobarla:

a)x+4=10

RESPUESTA

1-a) 3x+2y=8

Primer miembro: 3x+2y. Segundo miembro: 8. Terminos del primer miembro: 3x, 2y. Terminos del segundo miembro: 8. Incónitas: x, y.

b)4x+3z=z-6

Primer miembro: 4x+3z. Segundo miembro: z-6.Terminos del primer miembro: 4x, 3z. Terminos del segundo miembro. z, 6. Incógnitas: x, z

2- x+4=10. x=10-4. x=6. 6+4=10. 10=10. Igualdad.

NÚMEROS ENTEROS

Números negativos: si a los números naturales les anteponemosel signo - obtenemos otro tipo de número llamados negativos, es decir, son números negativos.Ejemplo: -1, -2, -3, -4, -5, etc. Pero debemos comprender que el signo - no significa que estén restando, simplemente es un símbolo que distingue a los números negativos

Números positivos: para determinar cuando un número no es negativo usamos el signo + así: +1,+2, +3, +4, +5,etc. Entendiendo que no están sumando sino que es un símbolo para distinguirlos.

EJERCICIOS

1-Utiliza los simbolos > y <, comparar cada uno de los siguientes pares de números leyendo de izquieerda a derecha: a)7 y 10 b) -7 y -10 c)4 y 6 d) 0 y -2

2-Escribe los siguientes números en orden de creciente usando el símbolo <. 3, -2, 4, 0, -6, 8, 7,-4,-8, 1

3-Escribe los siguientes números en orden decreciente usando el simbolo >. -10, 2, 8, -2, -7, 0, 5, -3, 6, -5.

Respuestas

1.a) 7 <> -10 c) 4 > -6 d) 0 > -2

2. -8 < -6 < -4 < -2 <>

3. 8 > 6 > 5 > 2 > 0 > -2 > -3 > -5 > -7 > -10

OPERACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Cuando hay que efectuar una operaciones con los números enteros, se anotan en un paréntesis, así: (+4) o así (-4) para indicar el cuadro positivo y el cuadro negativo. Ejemplo: (+5)+(-6)-(-8).

En este dibujo podemos observar que los signos + y - que estan dentro del paréntesis acompañan al número indican si el número es positivo o negativo y los que estan afuera de los paréntesis indican la operación de suma o resta.

EJERCICIOS

1- Efectuar las siguiente operación: (+4)+(+6)+(+8)+(+1)

2-Realizar la siguiente operacion: (-4)+(-3)+(-2)+(-1)

3-Resolver la siguiente operación: (+4)+(-2)+(-6)+(+1)+(+4)+(-3)+(+5)

RESPUESTA

1. +(4+6+8+1)=+19

2.-(4+3+2+1)=-10

3. Números positivos: 4+1+4+5=+14. Números negativos: 2+6+3=-11. Respuesta:14-11=+3

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La adición de números enteros tienen las mismas propiedades que la adición de números naturales. Propiedad conmutativa, propiedad asociativa y elemento neutro, elemento simetrico u opuesto.

EJERCICIOS

1-Efectuar la siguiente sustracción con el elemento simetrico: (+8)-(+4)

2-Realizar la siguiente sustraccion con la propiedad conmutativa: (-6) -(+5)

3-Resolver la siguiente sustraccion con el elemento neutro: (+5) -(0)

RESPUESTAS

1. (+8)-(+4)=(+8)+(+4)=+(8-4)=+4

2. (-6)-(+5)=-1 (+5)-(-6)=-1

3. (+5)-(0)=+5

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Sabemos que la multiplicación es la forma de sumar abreviadamente varios sumandos iguales. Cuando estudiamos la multiplicacion tenemos que tener en cuenta que cuando se multiplica con números enteros hay que tener en cuenta los signos de positivo y negativo

Ejercicios

1.-Efectua la siguiente operación: (+4).(+2)

2-Efectua la siguiente operación: (-5).(-8)

3-Realizar la siguiente operación:(+4).(-3)

4-Resolver la siguiente operación. (-5).(+7)

RESPUESTAS

1. (+4).(+2)= (+.+) = (4.2) = +8

2. (-5).(-8)= (-.-) = (5.8) = +40

3. (+4).(-3)= (+.-) = (4.3) = -12

4. (-5).(+7)= (-.+) = (5.7) = -35

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La operación que consiste en encontrar un número entero que multiplicado por otro nos da como resultado un tercer número o entero se denomina división exacta. Ejemplo: encontramos un número que multiplicado por 8 nos dé 16. La respuesta es 2, que anotamos de diferentes maneras.

EJERCICIOS

1-Efectuar cada una de las siguientes divisiones: a) (+6):(+3), b) (-12):(-3) c) (+20):(-5) d) (-30):(+6)

RESPUESTA

a) (+6):(+3) = (+:+) = (6:3) = +2

b) (-12):(-3) = (-:-) = (12:3) = +4

c) (+20):(-5) = (+:-) = (20:5) =-4

d) (-30):(+6) = (-:+) = (30:6) =-5

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La potenciación de números enteros positivos es igual que la potenciación de números naturales, es decir, que el resultado siempre es positivo.

La potenciación de números enteros negativos es en , realidad una multiplicación tantas veces por sí mismo como un número par de signos negativos y el resultado es positivo y cuando el exponente es impar hay un número impar de signos negativos y el resultado es negativo.

EJERCICIOS

1-Efectuar cada una de las siguientes potencias: a) (+3)2 b) (-5)2

2- Indicar el signo de cada una de las siguientes portencias: a) (+2)5 b) (-2)5

RESPUESTA

1. a) (+3)2 =(+)2(3)2=+9

b) (-5)2=(-)2(5)2=+25

2. a) (+2)5 ---> (más)impar= más (+)

b) (-2)5 --->(menos)impar= menos (-)

Introduccion, breve reseña historica

INTRODUCCION:
El objetivo de esta guia es el ayudar a repasa y sistemátizar los conocimientos a las nociones básica de calculo matemático o precalculo universitario. No se pretende formular una teoría formalizada sobre la construcción de este conjunto numérico y las operaciones en él; el objetivo es el de lograr que el estudiante, a la par de un conocimiento básico de la estructura matemática, sepa operar y resolver problema de aplicación con esta operaciones.

BREVE RESEÑA HISTORICA::

Las matemática son rama del conocimiento que se ocupa de estudiar los números, las magnitudes, las forma geométrica y las relaciones entre dichos elementos. La mayoría de las personas se inicia aprendiendo a sumar, restar, multiplicar y dividir números. Esta operaciones constituye la base de la aritmética.

Origen de las matemáticas:

Los orígenes de las matemática son oscuro, aunque es probable que estén asociado a la aparición del concepto de número. Los pueblos más antiguos reconocierón la diferencia entre "uno"y" muchos". Hay indicios de que una etapa ulterior fue la distinción entre "uno", "dos" y "mas de dos". El siguiente paso consistió en contar objetos poniéndolos en correspondencia biunívoca con otra cosa ( como los dedos). El resultado del recuentro se guardaba, por ejemplo, mediante montones de piedras o muecas en palos y recibía un nombre. Al principio, los números fueron asociados a objetos: tres hombres, cuatro piedras, etc. Sólo con posterioridad surgieron los conceptos abstractos de "tres", "cuatro", etc. Se supone que el uso de la numeración respondió a necesidades prácticas, como reparto de bienes. Algunos autores opinan, sin embargo, que los números nacieron de rituales religioso que exigían un orden y que los números ordinales ( primero, segundo, tercero, etc) precedieron a los números cardinales ( uno,dos, tres,etc)

Los inicios de la matematica moderna:

Desde el siglo xvii se asistió a un gran desarrollo de las ténicas matematicas y el nacimiento de nuevas ramas de esta ciencias. varias figuras clave protagonizaron este periodos. A Pierre Fermat ( 1601 - 1664), abogado francés que dedico la mayor parte de su tiempo al estudio de las matemáticas se le considera como el fundador de la teoría de números.

René Descarte (1596-1664), contemporáneo de Fermat, publicó en 1639 una obra revolucionaria, la GÉOMÉTRIE, en la que se ocupó de la relaciones entre la geometría y el álgebra ( GEOMETRIA ANALITICA). su innovación consistión en representar los puntos mediantes números que daban distancias a líneas rectas; las curvas quedaba representada entonces mediante ecuaciones algebraica. El concepto de coodenadas cartesiana no fue obra del propio Descarte, sino del alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

En el siglo xvii se produjo el primer intento de resolver los problema relacionados con calculos. Los matematicos debatían un cierto número de problema interrelacionado, relativos a pendientes, longitudes y áreas de curvas. Antes de Isaac Newton( 1643-1727) los matemáticos habían obtenido soluciones de problemas particulares, pero no métodos generales aplicqable a todas las curvas.

En 1669 Newton ya habia elaborado muchas de sus ideas matemáticas, pero al no haberlas publicado íntegramente, se produjo una áspera disputa con Leinbniz sobre la prioridad de sus hallazgos, ya que el alemán estado trabajando independientemente en problemas similares.

Los estudios de Newton y Leibniz fueron proseguidos por el suizo Leonhard Euler (1703-1787) y el frances Joseph-Louis Lagrange (1763-1813), pero hasta el siglo xix no se establecieron sólidas bases para el cálculo. La contribución crucial a esta fundamentación la realizaron el francés Augustin Cauchy (1789-1857) y el alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Cauchy empezó a elaborar la idea de límite en los años 1820. Los infinitésimos dejaron de ser considerados como números concretos infinitamente pequeños y se convirtieron en cantidades variables cuyo valor numérico tiende a cero.

En el siglo xx ha habido gran interés por lo fundamentos logicos de las matematicas, y se ha caracterizado por la abundancia de teorias matemáticas, y por la aparición de revistas y periodicos especializados. Desde 1900 la comunidad matemática internacional vive al ritmo de los congresos internacionales. Despues de la segunda guerra mundial, los intercambios y los vinculos entre matemáticos se intensificaron gracias a la organización de numerosos coloquios y simposios. Otros aspectos de esta ciencias ha sido el uso de computadoras, tanto para las matematicas aplicadas como para la obtención de cierta demostraciones de matematica pura ( ciencia de la computación).

ARITMETICA Y ALGEBRA ELEMENTAL

existen cuatro operaciones aritmetica, llamada respectivamente la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

Adición. es la operación más básica de las cuatro, y consiste en incrementar un número de una cantidad igual a otro número, como en 2+3=5. el resultado de la operación ( en este caso,5) se llama SUMA. El termino suma se utiliza para indicar tanto la expresión 2+3 como el resultado de la adición. Los números sumados ( 2y 3) se llaman sumandos.

Sustracción. Es la operacion contraria a la adición, la reducción de un número en una cantidad igual a otro, como en 5 - 3= 2. El resultado de la sustracción ( en este caso, 2) se llama diferencia; el numero sustrado (3) es el sustraendo y el número del que se sustrae (5) es el minuendo. Se dice la sustracción es la operación inversa de la que la adición 8 esto es, 2+3=5 y 5-3=2). Analogamente, la adición es la inversa de la sustracción. Una importante diferencia entre la adición y la sustracción es que el resustado de sumar dos números naturales siempre es otro número natural ( o entero positivo), mientras que la sustracción de dos números naturales no siempre da como resultado un número natural: la diferencia 2-5 es un entero negativo (-3). Análogicamente, la sustracción de un número negativo es equivalente a la adición del mismo número considerado positivo; por ejemplo. 5- (-3)= 5 +3. La sustracción extiende el sistema numérico de los números enteros positivos y negativos.

Multiplicación. se puede considerar como una adición reinterada: 9 x 5 es lo mismo que 9 +9 +9+9+9 ( cinco nueves). El resultado de la multiplicación se conoce como producto ( por ej., 9 x 5 = 45, el producto es 45). El número que es multiplicado ( en este caso, 9 ) es el multiplicando y el que multiplica (5) el multiplicador. En realidad, lo que la adición, el orden de los terminos no influye en el resultado.

División. Lo mismo que la sustracción es la inversa de la adición, la división es la inversa de la multiplicación. La inversa de 12 entre 4= 3es 4 x 3= 12. El resultado de la división es el llamado cociente: en este caso, 3 es el cociente de dividir 12 entre 4. El número dividido (12) es el dividendo y el (4) el divisor.